2-2+2-2+... ধারার প্রথম (2n+1) পদের সমষ্টি কত?

$u_1+u_2+u_3+......+u_n+....$ অনন্ত ধারার 

১ম আংশিক সমষ্টি $S_1=u_1$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_2=u_1+u_2$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_3=u_1+u_2+u_3$

n তম আংশিক সমষ্টি $S_r=u_1+u_2+u_3+....+u_n$

অর্থাৎ, কোনো অসীম ধারার n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।

উদাহরণ ১. প্রদত্ত অসীম ধারা দুইটির আংশিক সমষ্টি নির্ণয় কর।

ক) $1+2+3+....$                   খ)$1-1+1-1+.....$

সমাধান:
ক) ধারাটি একটি সমান্তর ধারা কারণ ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n=\frac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} =\frac{n}{2}\left\{2.1+(n-1).1\right\}$
কাজেই $S_n=\frac{n}{2}\left\{2+n-1\right\}=\frac{n(n+1)}{2}$

উপরের সূত্রে n এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই,

$S_{10}=\frac{10\times 11}{2}=55$
$S_{1000}=\frac{1000\times 1001}{2}$$=500500$

$S_{100000}=\frac{100000\times 100001}{2}=5000050000$

এভাবে, n এর মান যত বড় করা হয়, Sn এর মান তত বড় হয়।

সুতরাং প্রদত্ত অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

খ) $1-1+1-1+....$অসীম ধারাটির

১ম আংশিক সমষ্টি $S_1=1$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_2=1-1=0$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_3=1-1+1=1$

৪র্থ আংশিক সমষ্টি $S_4=1-1+1-1=0$

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, n বিজোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_n=1$ এবং n জোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_n=0$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ধারাটির ক্ষেত্রে, এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় না যাকে ধারাটির সমষ্টি বলা যায়।